Interpretación geométrica de la suma y el producto
1 Si 1 z y 2 z son complejos, ¿qué representa el número <span styLXNmxNX,le="font-size:7.0pt">1 2
2
czMZC:cm,z:ZM z + z
. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntZC[,-:Z.-os
1 2 _z + μz si _ y μ son reales y verificaZC,._;Z-zc-n _ + μ = 1 ?
Solución: bUNWEER
Gráficamente el afijo del número complejo
1 2 1 2 1 2
2 2 2
z z x x y y
i
+ + +
= +
representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número
complejo 1 2 z + z
Los puntos de la forma 1 2 _z + μz son los puntos de la recta
( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 _z + μz = 1 − μ z + μz = z + μ z − z
es decir, la recta que pasa por 1 z y cuyo vector director es 2 1 z − z .
2 Demuéstrese que si los puntos 1 z , 2 z , 3 z son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3 z + z + z = z z + z z + z z
3 1
2 1
arg( )
3 1 3 1 3
arg( )
2 1 2 1
i z z
i
i z z
z z z z e
e
z z z z e
_
−
−
− −
= =
− −
( )
( )
1 2
3 1
arg
1 2 1 2 3
arg
3 2 3 2
i z z
i
i z z
z z z z e
e
z z z z e
_
−
−
− −
= =
− −
ya que
( ) ( ) 3 1 2 1 arg arg
3
z z z z
_
− = − +
Profesora: Elena Álvarez Sáiz S
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Números Complejos
3
( ) ( ) 3 2 1 2 arg arg
3
z z z z
_
− + = −
Por lo tanto,
3 1 1 2 2 2 2
3 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2
2 1 3 2
z z z z
z z z z z z z z z z z z z
z z z z
− −
= _ − − + = − − + _
− −
2 2 2
_ z1 + z2 + z3 = z1z2 + z1z3 + z2z3
Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados 1 z , 2 z , 3 z son
los tres diferentes verificando 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3 z + z + z = z z + z z + z z entonces forman un
triángulo equilátero.
Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: *
1 z = z − z . Los números son
ahora:
{ } { * * }
2 1 3 1 2 3 0,z − z , z − z = 0, z , z
Entonces, la igualdad 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3 z + z + z = z z + z z + z z se transforma en
* * *2 *2
2 3 2 3 z z = z + z
despejando
( )
*
3
*2 * * *2 * * *2 *2
3 2 3 2 3 2 2 2
1
0 4
resolvemos 2
la ecuación
de segundo
grado en z
z − z z + z = _ z = z + z − z _
* ( * * ) * *
3 2 2 3 2
1 1 1
3 3
2 2 2
z z i z z z i
_ _ = ± _ = __ ± ___ ___
Esto significa que *
3 z es *
2 z girado
3
_
radianes (60 grados) y como
1 1
3 1
2 2
± i = se tiene
que * *
3 2 z = z . Por lo tanto, { * * }
2 3 0,z ,z forman un triángulo equilátero lo que significa que
{ * * } { }
1 2 1 2 1 1 1 2 3 z , z + z , z + z − z = z , z ,z .